Kartesisches Koordinatensystem - polares KS
(x,y) - (r, phi)
Durch Translation (Überführung) des einen Koordinatensystems in das Andere geht die eine Gleichung des geometrischen Objekts in die Andere über.
Die Transformationsgleichung für den Übergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten und umgekehrt ergeben sich mit Hilfe der trigometrischen-, der Arcusfunktionen und dem Lehrsatz von Pythagoras.
Zur Vereinfachung wird dabei vorausgesetzt, dass der Pol des Polarkoordinatensystems mit dem Koordinatenursprung des kartesichen Koordinatensystems und die Polarachse mit der x-Achse (Abszisse) zusammenfallen.
Transformation von Polarkoordinaten in kartesiche Koordinaten:
(r, phi) - (x, y)
Hier machen wir uns die Winkelfunktionen zunutze. Die Winkelfunktionen lassen sich leicht erklären, da man beispielsweise nur ein rechtwinkeliges Dreieck zu strecken braucht, um zwei ähnliche Dreiecke zu erhalten, bei denen der Strahlensatz angewendet werden kann. In diesem Fall habe ich C als Streckzentrum verwendet und das rechtwinkelige Dreieck mit dem Streckungsfaktor k=1.5 gestreckt.
Um die Verhältnisse genauer beschreiben zu können, muss noch der Einheitskreis betrachtet werden.
In der Mathematik ist der Einheitskreis jener Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatensprung eines kartesichen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.
Liegt ein Punkt P auf dem Einheitskreis, kann man einen Winkel alpha zu der x - Achse (Abszisse) definieren, unter dem P vom Mittelpunkt (Ursprung) ausgesehen wird. Für die Koordinaten von P (x_p/y_p) gilt dann, y_p = sin alpha, x_p = cos alpha und y_p/x_p = tan alpha.
Unter Zuhilfenahme der Beziehungen des rechtwinkeligen Dreiecks lassen sich folgende Zusammenhänge aufstellen:
sin alpha = Gegenkathete/ Hyphotenuse
cos alpha = Ankathete /Hyphotenuse
tan alpha = Gegenkathete/ Ankathete
Eine orientierte Länge der Tangente, die normal auf der x - Achse an den Kreis liegt, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von alpha. Der Einheitskreis kann auch über die Eulersche Identität dargestellt werden.
e^i phi = con (phi) + i sin(phi)
Sieht man sich die Übersetzungen der Winkelfunktionen genauer an, so kann man Parallelen erschließen. Die Winkelfuktion Sinus stammt ursprünglich aus dem Lateinischen (und bezeichnet eine Sehne) oder aus dem Arabischen, wo Sinus als Bucht übersetzt werden kann. Tangens kann mal als Tangente übersetzten und Cosinus ist der Sinus vom Komplimentärwinkel (sin(90) - alpha)
Nun zur Umrechung: (r, phi) - (x, y)
Gegeben in unserem Fall ist also die Hyphotenuse r und der Ausgangswinkel phi.
Ausrechnen der x Koordinate (AK):
cos alpha = x/r
x= r * cos alpha
Ausrechnen der y Koordinate (GK)
sin alpha = y/r
y= r * sin alpha
Transformation von kartesischen Koordinaten zu polaren Koordinaten:
(x,y) - (r, fi)
Auch hier wenden wir die Winkelfunktionen und den Phytagoräischen Lehrsatz an. Wir haben also GK =y und AK =x und wollen die Hyp =r und den Winkel phi:
Ausrechnen des Radius
r = die Wurzel aus x² + y²
Ausrechen des Winkel phi:
tan phi = GK/AK = y/x
phi = arcus tan (y/x)
